7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Toán 8 Và Cách Áp Dụng 2025

Trong thế giới toán học, việc nắm vững các công cụ cơ bản cũng quan trọng như việc một nhà hóa học phải thuộc lòng bảng tuần hoàn hóa học. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ chính là những công cụ nền tảng như vậy. Chúng không chỉ là công thức bắt buộc trong chương trình giáo dục mà còn là chìa khóa giúp giải quyết vô số bài toán phức tạp một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn toàn diện, từ công thức cơ bản, cách chứng minh chi tiết đến các bài tập ví dụ cập nhật nhất năm 2025, giúp bạn làm chủ hoàn toàn 7 hằng đẳng thức quan trọng này.

Tổng Hợp 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Cần Nắm Vững

Đây là 7 công thức đại số nền tảng dùng để khai triển và phân tích đa thức, bao gồm: (1) Bình phương một tổng, (2) Bình phương một hiệu, (3) Hiệu hai bình phương, (4) Lập phương một tổng, (5) Lập phương một hiệu, (6) Tổng hai lập phương, và (7) Hiệu hai lập phương.

Dưới đây là 7 công thức cốt lõi mà bất kỳ học sinh nào cũng cần ghi nhớ để áp dụng vào việc rút gọn biểu thức và phân tích đa thức thành nhân tử.

1. Bình phương của một tổng: (a+b)² = a² + 2ab + b²
2. Bình phương của một hiệu: (a-b)² = a² - 2ab + b²
3. Hiệu hai bình phương: a² - b² = (a-b)(a+b)
4. Lập phương của một tổng: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. Lập phương của một hiệu: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
6. Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
7. Hiệu hai lập phương: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

Hướng Dẫn Chi Tiết Từng Hằng Đẳng Thức

Để nhớ lâu và áp dụng chính xác, cần hiểu rõ cách chứng minh từng công thức. Quá trình này giúp rèn luyện tư duy logic, tương tự như việc cân bằng phương trình hóa học, đòi hỏi sự tuần tự và chính xác.

1. Bình Phương Của Một Tổng

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Phát biểu: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất, cộng với hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Chứng minh step-by-step:

1. Viết (a + b)² dưới dạng tích: (a + b) × (a + b).
2. Sử dụng quy tắc nhân đa thức: a × a + a × b + b × a + b × b.
3. Rút gọn các hạng tử đồng dạng: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Bài tập ví dụ: Khai triển biểu thức (x + 4)².

Giải: Áp dụng công thức, ta có: x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16.

2. Bình Phương Của Một Hiệu

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Phát biểu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất, trừ đi hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Chứng minh step-by-step:

1. Viết (a – b)² thành (a – b) × (a – b).
2. Phân phối: a × a – a × b – b × a + b × b.
3. Kết hợp và rút gọn: a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

Bài tập ví dụ: Tính nhanh (3y – 2)².

Giải: (3y)² – 2 × 3y × 2 + 2² = 9y² – 12y + 4.

3. Hiệu Hai Bình Phương

a² – b² = (a + b)(a – b)

Phát biểu: Hiệu của hai bình phương bằng tích của tổng hai số và hiệu hai số đó. Đây là công thức cực kỳ hữu ích trong việc phân tích nhân tử.

Chứng minh step-by-step:

1. Xét vế phải (a + b)(a – b).
2. Nhân phân phối: a × a – a × b + b × a – b × b.
3. Rút gọn: a² – ab + ab – b² = a² – b² (đpcm).

Bài tập ví dụ: Phân tích đa thức x² – 9 thành nhân tử.

Giải: Ta nhận thấy 9 = 3². Vậy, x² – 9 = x² – 3² = (x + 3)(x – 3).

4. Lập Phương Của Một Tổng

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Chứng minh step-by-step:

1. Viết (a + b)³ = (a + b) × (a + b)².
2. Thay thế (a + b)² = a² + 2ab + b² vào biểu thức.
3. Ta có: (a + b)(a² + 2ab + b²) = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²).
4. Nhân và rút gọn: a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Bài tập ví dụ: Khai triển (2 + z)³.

Giải: 2³ + 3 × 2² × z + 3 × 2 × z² + z³ = 8 + 12z + 6z² + z³.

5. Lập Phương Của Một Hiệu

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Chứng minh step-by-step:

1. Tương tự như trên, viết (a – b)³ = (a – b) × (a – b)².
2. Sử dụng (a – b)² = a² – 2ab + b².
3. Ta có: (a – b)(a² – 2ab + b²) = a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²).
4. Rút gọn: a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Bài tập ví dụ: Tính (m – 1)³.

Giải: m³ – 3 × m² × 1 + 3 × m × 1² – 1³ = m³ – 3m² + 3m – 1.

6. Tổng Hai Lập Phương

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Lưu ý: Biểu thức a² – ab + b² được gọi là “bình phương thiếu của một hiệu”.

Chứng minh step-by-step:

1. Mở rộng vế phải: (a + b)(a² – ab + b²) = a × a² – a × ab + a × b² + b × a² – b × ab + b × b².
2. Rút gọn các hạng tử: a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³.

Bài tập ví dụ: Phân tích 8 + 27y³ thành nhân tử.

Giải: Viết lại dưới dạng lập phương: 2³ + (3y)³.
Áp dụng công thức: (2 + 3y)(2² – 2 × 3y + (3y)²) = (2 + 3y)(4 – 6y + 9y²).

7. Hiệu Hai Lập Phương

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Lưu ý: Biểu thức a² + ab + b² được gọi là “bình phương thiếu của một tổng”.

Chứng minh step-by-step:

1. Mở rộng vế phải: (a – b)(a² + ab + b²) = a × a² + a × ab + a × b² – b × a² – b × ab – b × b².
2. Rút gọn: a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

Bài tập ví dụ: Phân tích p³ – 125 thành nhân tử.

Giải: Viết lại: p³ – 5³.
Áp dụng: (p – 5)(p² + 5p + 5²) = (p – 5)(p² + 5p + 25).

Bảng Tóm Tắt Và Ứng Dụng

Bảng này tóm tắt 7 hằng đẳng thức, tên gọi và các ứng dụng chính như khai triển biểu thức, rút gọn và phân tích đa thức thành nhân tử, giúp tra cứu và hệ thống hóa kiến thức nhanh chóng.

Việc áp dụng các công thức này không chỉ giới hạn trong toán học. Trong các ngành khoa học tự nhiên, việc tính toán các đại lượng vật lý hay xác định nồng độ phần trăm của dung dịch cũng thường xuyên cần đến các phép biến đổi đại số tương tự.

Công Thức	Tên Gọi	Ứng Dụng Chính
(a+b)² = a² + 2ab + b²	Bình phương một tổng	Khai triển, rút gọn biểu thức
(a-b)² = a² – 2ab + b²	Bình phương một hiệu	Khai triển, rút gọn biểu thức
a² – b² = (a+b)(a-b)	Hiệu hai bình phương	Phân tích nhân tử, tính nhanh
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³	Lập phương một tổng	Khai triển, chứng minh
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³	Lập phương một hiệu	Khai triển, chứng minh
a³ + b³ = (a+b)(a² – ab + b²)	Tổng hai lập phương	Phân tích nhân tử
a³ – b³ = (a-b)(a² + ab + b²)	Hiệu hai lập phương	Phân tích nhân tử

Lưu Ý Quan Trọng Khi Sử Dụng Hằng Đẳng Thức

Để tránh sai sót, người học cần chú ý đến việc phân biệt dấu, nhận diện dạng “bình phương thiếu”, kiểm tra lại bằng cách thay số cụ thể và luyện tập áp dụng một cách linh hoạt.

• Tránh nhầm lẫn dấu: Sai lầm phổ biến nhất là nhầm dấu cộng (+) và trừ (-), đặc biệt giữa công thức (a-b)² và a²-b². Hãy học thuộc và kiểm tra kỹ.
• Phân biệt “bình phương thiếu”: Trong công thức tổng/hiệu hai lập phương, các biểu thức (a² – ab + b²) và (a² + ab + b²) không có số 2 ở hạng tử giữa, đừng nhầm với bình phương của một tổng/hiệu.
• Kiểm tra bằng số: Khi không chắc chắn, hãy thử thay các giá trị số cụ thể (ví dụ a=2, b=1) vào hai vế của công thức để xác minh tính đúng đắn.
• Áp dụng linh hoạt: Đôi khi cần nhóm các hạng tử một cách khéo léo để tạo ra hằng đẳng thức.

Câu Hỏi Thường Gặp (FAQs)

Phần này giải đáp các thắc mắc phổ biến như mẹo nhớ nhanh công thức, tầm quan trọng của việc chứng minh, các dạng mở rộng và ứng dụng của hằng đẳng thức trong các lĩnh vực khác như hóa học.

1. Làm thế nào để nhớ nhanh 7 hằng đẳng thức?
Hãy học thuộc lòng bằng thơ hoặc các câu “thần chú”. Ví dụ: “Bình phương một tổng: bình phương số nhất, cộng hai lần tích, cộng bình phương hai”. Luyện tập bài tập thường xuyên là cách tốt nhất để ghi nhớ.

2. Tại sao phải học cách chứng minh công thức?
Hiểu cách chứng minh giúp bạn nắm được bản chất vấn đề, từ đó áp dụng chính xác và linh hoạt hơn trong nhiều dạng bài tập khác nhau. Nó cũng giúp bạn tự suy ra lại công thức nếu lỡ quên.

3. Có các hằng đẳng thức mở rộng không?
Có. Ngoài 7 hằng đẳng thức cơ bản này, còn có các công thức mở rộng như bình phương của một tổng ba số hạng (a+b+c)² hay công thức Nhị thức Newton tổng quát cho (a+b)ⁿ. Tuy nhiên, 7 công thức này là nền tảng quan trọng nhất.

4. Ứng dụng của hằng đẳng thức trong hóa học là gì?
Mặc dù không trực tiếp, nhưng tư duy biến đổi, rút gọn và cân bằng biểu thức trong hằng đẳng thức là nền tảng cho việc giải các bài toán hóa học phức tạp, ví dụ như việc sử dụng các công thức tính độ pH hay cân bằng các phương trình phản ứng oxy hóa-khử.

---

Dữ liệu tham khảo được tổng hợp từ Vietjack.com, Wikipedia, Mathvn.com. Cập nhật cho mục đích học tập năm 2025 bởi đội ngũ chuyên gia của Hóa Chất Doanh Tín.